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\title{MODULES PROJECTIFS SUR LES ANNEAUX DE POLYNOMES
}
\author{Hamet SEYDI, Hima RABO }

\begin{document}

\maketitle
\begin{abstract}
The main aim of this article is to prove the following:

 Let $A$ be a noetherian ring, $B =A [T_1,....,T_n ]$ the polynomial ring in n variables over $A$ and $M$ a projective B-module. Then there exists a projective A-module $M_0$ such that $M \simeq M_0 \otimes B$.



L'objet de cet article est de prouver le résultat suivant :

 Soient $A$ un anneau noethérien, $B =A [T_1,....,T_n ]$ l?anneau des polynômes à n variables sur $A$ et $M$ un B-module projectif. Alors il existe un A-module projectif $M_0$ tel que $M \simeq_A M_0 \otimes B$.

\end{abstract}

\section{Introduction}
L'objet de cet article est de généraliser à tous les anneaux noethériens le célèbre résultat de QUILLEN et SUSLIN selon lequel tout module projectif de type fini $M$ sur un anneau de polynômes à un nombre fini de variables sur un anneau nothérien normal $A$ de dimension $\leq 1$, $B = A [T_1,...,T_n]$, est isomorphe à $M_0 \simeq B$ où $M_0$ est un A-module de type fini qui lui même est isomorphe à $M/( T_1,...,T_n)M$.

  Le principe de notre démonstration est le même que celui du théorème de QUILLEN et SUSLIN (cf. \cite{3} Theorem 3.14).  Il nous a suffit de montrer que le théorème de HORROCKS (cf.\cite{3} Theorem 3.11) sur lequel s'appuit la démonstration du théorème de QUILLEN et SUSLIN reste vraie si l'on remplace l'hypothèse : f est un polynôme unitaire par l'hypothèse : les coefficients de f engendrent $A$.  Ce résultat a des conséquences intéressantes en K-THEORIE algébrique.  En particulier si $A$ est un anneau noethérien et $B = A [T_1,...,T_n]$ un anneau de polynôme à un nombre fini de variables sur $A$, alors l'homorphisme canonique $K_0(A) \rightarrow K_0(B)$ est un isomorphisme.  D'autre part, si $A$ vérifie la condition $(S)_d$ de ( \cite{0} Chap.I, \S 2), il en est de même de $B = A [T_1,...,T_n]$.  Ce qui implique en particulier que si $A$ est un anneau semi-local noethérien réduit, l'homomorphisme canonique $K_1(A) \rightarrow K_1(B)$ est un isomorphisme.  En outre si $A$ est un anneau noethérien et $B = A [
T_1,...,T_n]$, l'anneau des polynômes à n variables sur $A$, tout faisceau localement libre de type fini (resp. tout fibre vectoriel algébrique) sur $X=Spec(B)$ se prolonge en un faisceau localement libre de type fini (resp. tout fibre vectoriel algébrique) sur $Y=P^n(A)$.  Ce qui implique en particulier que les homomorphismes canoniques $Pic(Y) \rightarrow  Pic(X)$ et $K_0(X) \rightarrow K_0(Y)$ sont surjectifs.


\section{Chapitre I}
\input{chap1}

\newpage
\bibliographystyle{plain} 
\bibliography{biblio2}

\end{document}
